Essence of linear algebra 선형대수학

 

벡터

Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra

 

선형대수의 기본적이고, 근본적인 구성 조각은 벡터(Vector)

벡터를 떠올릴 때, xy 평면과 같은 좌표계 안에 있고, 꼬리가 원점에 있는 화살표를 떠올려라

평면에서 두 선이 교차하는 곳을 원점이라고 하는데,

이 원점을 공간의 중심이자 모든 벡터 뿌리가 위치하는 곳이라고 생각하면 됨

모든 숫자쌍은 각각 하나의 벡터와 대응되고, 반대로 모든 벡터는 각각 대응되는 숫자쌍이 하나 있음

벡터합 : 항끼리 매칭해서 서로 더하는 것

벡터에 숫자 곱하기 : 숫자 2를 어떤 벡터에 곱하는 것은 벡터를 기존의 2배만큼 늘리는 것

숫자 1/3을 벡터에 곱하는 것은 벡터를 기존의 1/3로 줄인다는 것

음수 -1.8을 벡터에 곱하는 것은 벡터를 반대방향으로 뒤집고 나서 1.8배만큼 늘리는 것

스케일링(scaling) : 벡터 길이를 늘이거나, 줄이거나, 방향을 뒤집는 것

스칼라(scalar) : 벡터 스케일링에 사용되는 숫자 (위에서 2, 1/3, -1.8과 같은 숫자들)

선형대수에서 숫자의 주요 역할은 벡터를 스케일링 하는 것 → 스칼라 ≓ 숫자

선형대수의 주요 주제들은 벡터합과 스칼라곱 이 두 가지 기본적인 연산 주변에서 도는 경향이 있음

 

선형변환, Span, 기저 벡터

Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

 

$ \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} $ 와 같은 벡터를 묘사하는 숫자쌍이 있을 때

각 좌표값을 하나의 스칼라, 스케일러로써 생각해봤으면 함

즉, 각각의 좌표값이 벡터를 어떻게 늘리고 줄일지에 대한 정보라는 것

단위 벡터(unit vector) : 길이가 1인 벡터, $x$축의 단위벡터 $\hat{i}$ 와 $y$축의 단위벡터 $\hat{j}$

 

$ \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} $ 에서 $x$좌표값 3을 스케일러로써 $\hat{i}$을 늘리고, $y$좌표값 -2를 스케일러로써 $\hat{j}$을 뒤집고 늘려서

→ $ (3)\hat{i} + (-2)\hat{j} $

 

단위 벡터 $\hat{i}$와$\hat{j}$는 기저 벡터(basis vector)라고도 하는데

좌표값을 스케일러라고 생각해보면, 기저 벡터들은 좌표값(스케일러)이 스케일링하는 대상이 됨

 

수치로 벡터들을 표현할 때, 우리는 암묵적으로 특정 기저 벡터들을 선택한 상태임

 

선형 조합(linear combination) : 두 벡터를 스케일링하고나서 더하는 것

$ a \vec{v} + b \vec{w} $ 에서 $a$와 $b$는 스케일러, 스칼라

 

두 벡터의 Span : 주어진 두 벡터 쌍의 조합으로 나타날 수 있는 결과 벡터들의 집합

2차원 벡터 쌍의 span은 2차원 공간 전체가 되지만, 특정 선 위로 제한되는 경우나, 원점에 갖히는 경우도 존재

 

벡터(vector)를 점(point)으로 옮겨 생각해보자

벡터 집합 전체를 2차원 평면에 화살표로 나타내면 혼잡하게 느껴질 것

화살표 대신 벡터 하나하나를 공간상 하나의 점으로 다뤄보자

벡터의 끝이 각각의 점 / 모든 벡터의 시작은 원점

벡터 하나를 다룰 때는 화살표가 편하겠지만, 벡터 집합을 다룰 때는 점이 편리

 

대부분 벡터 쌍의 경우 Span은 무한한 2차원 공간 그 자체가 될 것

하지만, 선 모양을 이룬다면 Span은 그냥 선(line)일 것

 

그렇다면, 세 번째 벡터를 추가하면 Span은 무한한 3차원 공간 그 자체가 될 것

하지만, 세 번째 추가한 벡터가 다른 기존의 두 벡터가 만드는 Span(평면)에 놓여있다면

세 번째 벡터를 추가해도 Span이 바뀌지 않음, 똑같은 평면에 그대로

즉, 세 번째 벡터를 추가하고 아무리 선형 조합을 해봐도, 기존 Span 밖에 새로운 벡터를 만들지 못함

그렇다면, 기존의 두 벡터의 Span(평면)에 놓여있지 않은 벡터를 선택한다면

새로운 방향을 가리키는 것이 가능해져서 3차원의 모든 벡터들에 대한 접근이 가능

 

세 번째 추가한 벡터가 기존의 두 벡터의 Span 위에 있거나, 두 벡터의 Span이 이미 선인 경우

불필요한 벡터가 있어서, 그 벡터를 추가해도 Span이 더 확장되지 않는 상황; 이런 상황을 설명하는 용어가 필요

선형 종속(linear dependent) : 벡터들 중 하나가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현 가능한 경우;

Span의 축소 없이 하나 이상의 벡터를 제외시켜도 되는 경우

$$ \vec{u} = a \vec{v} + b \vec{w} $$

 

선형 독립(linear independent) : 벡터들 중 하나가 다른 벡터들의 선형 조합으로 표현 불가능한 경우;

각각의 벡터가 기존 Span에 또 다른 차원을 추가하는 것이 가능한 경우;

$$ \vec{u} \ne a \vec{v} + b \vec{w} $$

 

공간의 기저(basis)는 선형 독립적인 벡터들의 집합으로 Span하면 그 공간이 된다

 

선형변환과 행렬

Linear transformations and matrices | Chapter 3, Essence of linear algebra

 

선형변환(linear transformation) : 벡터 공간을 이동시키는 방법

 

transformation, '변환' 은 근본적으로 '함수'  의 다른 말임, 입력을 받고 결과물을 반환하는 것

선형대수에서는 특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 변환 같은 것

 

벡터 함수를 이해하는 가장 좋은 방법은 움직임으로 이해하는 것

어떤 변환이 입력벡터를 출력벡터로 바꾼다면

우리는 이것을 입력벡터를 이동시켜서 출력벡터로 만드는 것으로 생각해 볼 수 있음

 

이런 변환을 벡터 모두에 적용한다고 생각해보면

모든 가능한 입력벡터들을 이동시켜서 그에 상응하는 출력벡터를 만들어내는 것을 상상할 수 있음

화살표로 그려진 모든 벡터들의 움직임을 한번에 생각하는 것은 혼란스럽기 때문에

각 벡터들을 개념화하는 방법은 화살표가 아닌, 하나의 점으로 생각하는 것

점 하나가 벡터 하나의 끝을 나타냄

 

2차원에서의 변환을 살펴보면

변환에 대한 전체 '형태(shape)' 가 어떤지를 보면 이해하기 편할 것

무한한 격자선을 만들고, 그 위의 점을 살펴보면 직관적

때로는, 변경 전의 격자선을 뒤에 남겨두면 움직임의 전/후를 보기 좋음

 

변환이 선형적이라는 것은 두 가지 속성을 의미함

1. 모든 선들은 변환 이후에도 곡선이 아닌 직선이어야 함

2. 원점은 변환 이후에도 여전히 원점이 고정되어야 함

선형변환이라면, 격자 라인들이 변형 이후에도 여전히 평행하고 동일한 간격으로 있어야 함

 

결론적으로, 기저벡터 $\hat{i}$와 $\hat{j}$가 어떻게 변하는지만 알면 됨

 

예를 들어

$ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $ 좌표값은 $\hat{i}$의 -1배, $\hat{j}$의 2배를 의미함

 

어떠한 변환을 적용시켜도, 격자 선들은 계속 평행하고 균등하게 분포함

변환 후 $\vec{v}$는 변환된 $\hat{i}$의 -1배, 변환된 $\hat{j}$의 2배

즉, 변환 전에 $\vec{v}$를 이루는 $\hat{i}$와 $\hat{j}$의 어떤 선형 결합이 변환 후에도 같은 선형 결합을 유지

이 말은, $\hat{i}$와 $\hat{j}$의 변환된 위치만 알면 $\vec{v}$를 추론할 수 있다는 뜻

 

변환 후 $\hat{i}$은 변환 전 좌표계의 $(1,-2)$위치로 옮겨짐

변환 후 $\hat{j}$는 변환 전 좌표계의 $(3,0)$위치로 옮겨짐

이를 변환 후 $\vec{v}$ 식에 넣으면 $(5,2)$

 

좀 더 일반화하면

벡터의 좌표값을 $x,y$라고하면

변환 후 벡터 $=$ 변환 후 $\hat{i}$인 $ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} $의 $x$배 $+$ 변환 후 $\hat{j}$인 $ \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix} $의 $y$배

 

이 방법으로, 변환 후 $\hat{i}$의 $x,y$좌표, 변환 후 $\hat{j}$의 $x,y$좌표 이렇게 4가지를 알고 있는 한

어떤 벡터든지 변환 후에 어디로 이동하는지 알아낼 수 있음

일반적으로 $(2 \times 2)$행렬 형태로 표현함

 

$ \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} $ (행렬의 첫 번째 열) : 변환 후 $\hat{i}$의 $x$좌표와 $y$좌표 (첫 번째 기저 벡터의 도착점)

$ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} $ (행렬의 두 번째 열) : 변환 후 $\hat{j}$의 $x$좌표와 $y$좌표 (두 번째 기저 벡터의 도착점)

 

$ \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} $ 이라는 임의의 벡터가 주어졌을 때, 선형변환이 이 벡터를 어떻게 변화시킬까?

$ 5 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29 \\ -3 \end{bmatrix} $

이것은 변환 후의 기저 벡터들로 스케일링하고 합하는 개념

 

행렬$\times$벡터 로 같은 연산을 할 수 있음

$ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + 7 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} $

핵심을 모르고 행렬 곱셈을 암기했을 뿐

 

행렬은 우리에게 이런 변환을 설명하는 언어

 

만약 $\hat{i}$와 $\hat{j}$가 선형 종속(Span의 축소 없이 하나 이상의 벡터를 제외시켜도 되는 경우)이라면

이 선형변환은 2차원 공간을 수축시켜 두 벡터가 놓여있는 선(line)으로 만듦

 

 

요약하자면

선형변환은 공간을 이동시키는 방법

격자선이 평행하고, 일정한 간격을 유지하는 변형

원점은 고정

 

변환 후 $\hat{i}$와 $\hat{j}$의 좌표값을 행렬로 표현

그리고 이 열 각각을 $x,y$로 스케일링한 것을 행렬$\times$벡터로 정의

즉, 하나의 행렬은 하나의 선형변환을 나타냄

행렬을 볼 때마다 공간의 변환으로 생각해라!

 

벡터$ \left( \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \right) $에 행렬$ \left( \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right) $을 곱하는 것은

그 벡터를 선형변환하는 것과 같음

 

선형변환의 합성 (행렬곱)

Matrix multiplication as composition | Chapter 4, Essence of linear algebra

 

선형변환을 하고, 다시 선형변환을 하는 것은 어떻게 설명할까?

 

예를 들어

반시계 방향으로 90도 회전(rotation)시킨 뒤 옆으로 밀면(shear) 어떻게 되는지

전체 효과는 또 다른 선형변환임

 

이렇게 새로 생겨난 선형변환을

두 선형변환의 합성 이라고 말함

 

이 선형변환도 행렬로 표현 가능

$\hat{i}$의 최종도착지는 $(1,1)$ → 행렬의 첫번째 열

$\hat{j}$의 최종도착지는 $(-1,0)$ → 행렬의 두번째 열

$ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $ 이라는 새로운 행렬이 회전하고 미는 효과

하지만, 순차적으로 회전시키고 미는 것이 아니라, 하나의 변환으로 표현됨

 

어떤 벡터를 가져다가 회전시키고 미는 변환을 계산해보면

우선, Rotation을 나타내는 행렬에 벡터를 곱함

다음, Shear를 나타내는 행렬에 그 결과를 곱하면

이것이 수치적으로 표현된, 어떤 벡터에다가 회전시키고 미는 변환에 대한 결과

하지만, Rotation 행렬과 Shear 행렬을 곱해도 같은 결과를 얻을 수 있음

구한 새로운 행렬 $ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $ 은 회전하고 미는 효과

이 새로운 행렬은 두 행렬의 곱

두 행렬의 곱은 기하학적으로 한 변환을 적용하고 나서, 다른 변환을 적용한 것과 같음

 

한 가지 이상한 점은

$ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $ Rotation(오른쪽)이 첫번째 변환

$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ Shear(왼쪽)이 두번째 변환

오른쪽에서 왼쪽 방향으로 봐야함

이것은 함수 표기법 $ f(g(x)) $ 에서 유래한 것

두 함수를 합성할 때마다, 오른쪽에서 왼쪽으로 읽어야 함

 

3차원 선형변환

Three-dimensional linear transformations | Chapter 5, Essence of linear algebra

 

3차원 선형변환 역시 3차원 벡터를 입력받아 3차원 벡터를 출력

마찬가지로, 기저벡터가 어떻게 움직이는지만 알면됨

 

$x$축 $\hat{i}$ / $y$축 $\hat{j}$ / $z$축 $\hat{k}$

 

예를 들어

공간을 $y$축으로 90도 회전시키는 변환을 생각해보자

$\hat{i}$는 $z$축 위의 $(0,0,-1)$으로

$\hat{j}$는 움직이지 않아서 $(0,1,0)$

$\hat{k}$는 $x$축 위의 $(1,0,0)$으로

그리고 3개의 좌표값이 행렬의 열을 구성함

이 행렬이 $y$축으로 90도 회전시키는 변환을 나타냄

 

Determinant (행렬식)

The determinant | Chapter 6, Essence of linear algebra

 

선형변환을 다루다보면 어떤 것들은 공간을 확대시키는 것 같고, 어떤 것들은 공간을 축소시키는 것 같을 것

이를 이해하는데 도움이 되는 방법은, 얼마나 확장되거나 축소되는지 측정해보는 것

특정 영역(area)의 크기를 증가시키거나 감소시키는 스케일링 factor 값을 측정해보는 것

 

예를 들어

$ \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $ 라는 행렬이 있을 때

이 행렬은 $\hat{i}$를 3으로 확장시키고, $\hat{j}$를 2로 확장시킬 것

기존의 $\hat{i}$와 $\hat{j}$가 이루는

$(1 \times 1)$의 정사각형을 떠올려보면

변환 후의 $\hat{i}$와 $\hat{j}$가 이루는 사각형은 $(3 \times 2)$의 사각형으로 영역의 크기가 6

처음엔 영역의 크기가 1로 시작했는데

변환 후에는 영역의 크기가 6이 됨

그렇다면 이 선형변환은 factor 6으로 영역을 확장시킨다고 볼 수 있음

 

기울이기(shear) 변환을 생각해보면

기울이기 변환을 나타내는 행렬은 $ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

이 행렬은 $\hat{i}$는 변하지 않고, $\hat{j}$를 $(1,1)$로 이동시킴

이는 $(1 \times 1)$의 단위 정사각형을 기울여서 평행사변형이됨

그래도 평행사변형 영역의 크기는 1

이 변환이 마치 눌러서 찌그러뜨리는 것 같아도 영역의 크기는 바뀌지 않음

 

단위 정사각형 영역의 크기가 얼마나 변하는지만 알면

공간 상 어떤 영역이 어떻게 변할지 예측할 수 있음

격자의 다른 정사각형도 크기에 상관없이 똑같이 변화가 일어남

격자선이 평행하고, 일정한 거리를 유지한 채 변화하기 때문에

 

이 특별한 스케일링 factor는

선형변환에 의한 영역의 변화를 나타내는 factor로써 Determinant라고 불림

('행렬식' 이라는 번역보다는 'determinant' 가 이해하기 좋은 듯)

계산법을 이해하는 것보다 이 개념이 무엇인지 이해하는 것이 더 중요함

 

예를 들어

$$ det \left( \begin{bmatrix} 0.0 & 2.0 \\ -1.5 & 1.0 \end{bmatrix} \right) = 3.0 $$

한 변환의 determinant 값이 3이라면, 특정 영역의 크기를 3배 확대

$$ det \left( \begin{bmatrix} 0.5 & 0.5 \\ -0.5 & 0.5 \end{bmatrix} \right) = 0.5 $$

한 변환의 determinant 값이 0.5라면, 특정 영역의 크기를 반으로 축소

 

$$ det \left( \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \right) = 0 $$

2차원 변환의 determinant 값이 0이라면, 2차원 공간이 선(line)이 되거나 점(point)이 될 수 있음

그럼 당연히, 어느 영역이든 크기가 0이 될 것

주어진 행렬의 determinant 값이 0인지 확인하는 것은

계산할 수 있는지 없는지를 알려줌

 

그렇다면

determinant 값이 음수라면 어떤 의미일까?

이는 방향(orientation)과 관계되는데, 공간을 뒤집는 것

2차원 공간에 있는 종이를 떠올려보면

음수의 변환은 마치 종이를 뒤집는 것과 같음

 

$\hat{i}$와 $\hat{j}$를 통해 설명하는 방법도 있음

변환 전 $\hat{i}$는 $\hat{j}$의 오른쪽에 있음

변환 후 $\hat{i}$는 $\hat{j}$의 왼쪽에 있음

공간의 방향이 반전됨

 

공간의 방향이 반전될 때, determinant 값은 음수일 것

 

그렇다면 3차원에서는?

2차원에서는 영역의 면적이었다면, 3차원에서는 부피

3차원에서의 determinant는 부피를 스케일링하는 factor

 

기존의 $\hat{i}$, $\hat{j}$, $\hat{k}$가 이루는

$(1 \times 1 \times 1)$의 정육면체(큐브)를 떠올려보면

변환 후 정육면체는 기울어진 정육면체가 됨

기울어진 정육면체의 딱 맞는 이름 Parallelepiped, 평행육면체

 

determinant 값이 0이면

모든 공간이 찌부러져서 부피 0을 만든다는 의미이고, 이는 평면, 선, 점이 될 수 있음

그리고 이 행렬의 열들은 선형의존적(linearly dependent)

 

determinant 값이 음수이면

3차원에서는 방향을 설명하는 방법으로 '오른손 규칙' 이 있음

변환 후에도 이 오른손의 방향이 유지되면, determinant 값은 양수

변환 후에 방향이 반전(flipped)되었다면, determinant 값은 음수

 

Determinant, 행렬식

선형변환에 의한 영역의 변화를 나타내는 factor

특정 영역(area)을 확대/축소/방향전환 시키는 스케일링 factor

 

행렬식 계산 자체보다 determinant의 의미, 본질을 이해하는 것이 더 중요

 

기저 변환, 좌표 변환

Change of basis | Chapter 13, Essence of linear algebra

 

좌표계(coordinate system) : 벡터와 수의 집합을 연결하는 것

두 특수 벡터 $\hat{i}$와 $\hat{j}$는 기저 벡터(basis vector)라고 부름

"우리의 표준 좌표계에서"

 

다른 기저 벡터의 집합을 사용하는 아이디어

 

예를 들어

어떤 벡터를 공간에 표시하려고 하는데

나는 $\hat{i}$와 $\hat{j}$라는 기저 벡터를 사용하지만

친구는 $\vec{b_{1}}$과 $\vec{b_{2}}$라고 불리는 다른 기저 벡터를 사용함

$ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $ 라는 벡터를 서로의 좌표계에서 다르게 생각할 것

 

그렇다면, 다른 좌표계 사이에서 어떻게 해석해야할까?

 

다시 위의 예시로 돌아가서

친구가 생각하는 $ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $ 벡터를 내 좌표계에서는 어떻게 표현해야 할까?

친구 좌표계의 $\vec{b_{1}}$은 내 좌표계에서 $ \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} $

친구 좌표계의 $\vec{b_{2}}$은 내 좌표계에서 $ \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} $

$ -1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} $

 

친구의 기저벡터를 나타내는 열으로 이루어진 행렬은 선형변환으로 생각할 수 있음

나의 $\hat{i}, \hat{j}$을 친구의 $\vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}$로 움직이는 선형변환

 

역변환은 처음으로 되돌리는 변환

 

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $ 은 [나의좌표계 → 친구의좌표계]

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} $ 은 [친구의좌표계 → 나의좌표계]

 

정리해보자면

 

[친구의좌표계 → 나의좌표계]

친구가 생각하는 $ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $ 벡터를 내 좌표계에서 어떻게 표현?

나→친       친             나

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} $

 

반대로

 

[나의좌표계 → 친구의좌표계]

내가 생각하는 $ \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} $ 벡터를 친구 좌표계에서 어떻게 표현?

친→나          나             친

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $

 

 

반시계방향으로 90도 회전하는 선형변환을 생각해보자

$\hat{i}$은 $(0,1)$, $\hat{j}$은 $(-1,0)$ 으로 이동

각 좌표는 행렬을 열로 쓰여서 $ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

이 표현은 나의 기저벡터 $\hat{i},\hat{j}$ 에 대한 것

그렇다면 친구는 반시계방향으로 90도 회전하는 선형변환을 어떻게 표현해야할까?

 

일단, 친구 좌표계의 벡터로 시작 $ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $

내 좌표계로 변환 $ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $

내 좌표계에서 90도 회전하는 변환 $ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $

친구 좌표계로 변환 $ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $

친구 좌표계의 $ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} $ 뿐만 아니라 모든 벡터에 적용 가능

 

이렇게 구한 행렬과 회전시키고자 하는 벡터를 곱하면

친구의 좌표계에서 그 벡터의 90도 회전된 벡터가 반환됨

 

일반적으로

$ A^{-1}MA $

$M$은 선형변환

$A^{-1},A$는 관점의 변환

 

고유값과 고유벡터

Eigenvectors and eigenvalues | Chapter 14, Essence of linear algebra