코사인 유사도 (Cosine Similarity)

 

코사인 유사도

의미

코사인 유사도는 두 벡터 간의 코사인 각도를 이용하여 구할 수 있는 두 벡터의 유사도를 의미

두 벡터가 0º의 각을 이루는 경우 (방향이 같을 경우), 코사인 유사도 = 1

두 벡터가 90º의 각을 이루는 경우 (직교할 경우), 코사인 유사도 = 0

두 벡터가 180º의 각을 이루는 경우 (방향이 반대일 경우), 코사인 유사도 = -1

코사인 유사도가 높다는 말은 벡터가 더 비슷하다는 의미

 

 

수학적 표현

벡터의 내적 정의식

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\Vert \mathbf{A}\Vert \Vert \mathbf{B}\Vert cos\theta$$

 

이를 $cos\theta$ 를 중심으로 전개하면

$$cos\theta =\frac{\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}}{\Vert \mathbf{A}\Vert \Vert \mathbf{B}\Vert }$$

 

여기서,

벡터의 내적은 두 벡터의 각 성분끼리의 곱의 합이다

$$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\dots +a_n{b}_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

L2 Norm은 벡터의 각 성분의 제곱합에 루트를 씌운 것(벡터의 크기)이다

$$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots +a_n^2}=\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$$

 

위의 식을 조합하면 $cos\theta$ 를 구할 수 있는데, 이렇게 구한 cos항을 코사인 유사도라고 한다!

$$CosineSimilarity=cos\theta =\frac{\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}}{\Vert \mathbf{A}\Vert \Vert \mathbf{B}\Vert }=\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i}{\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n{b}_i^2}}$$

 

예제

벡터 $\mathbf{a}=(4,2)$와 $\mathbf{b}=(6,3)$의 코사인 유사도를 구하시오.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(4\times 6)+(2\times 3)=30$$

$$\Vert \mathbf{a}\Vert =\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$$

$$\Vert \mathbf{b}\Vert =\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$$

$$cos\theta =\frac{30}{\sqrt{20}\sqrt{45}}=\frac{30}{\sqrt{900}}=1$$

 

벡터 $\mathbf{a}=(1,2,3)$와 $\mathbf{b}=(6,5,4)$의 코사인 유사도를 구하시오.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(1\times 6)+(2\times 5)+(3\times 4)=28$$

$$\Vert \mathbf{a}\Vert =\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$$

$$\Vert \mathbf{b}\Vert =\sqrt{6^2+5^2+4^2}=\sqrt{77}$$

$$cos\theta =\frac{28}{\sqrt{14}\sqrt{77}}=\frac{4\cdot 7}{\sqrt{2\cdot 7}\sqrt{7\cdot 11}}=\frac{2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 7}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=\frac{2\sqrt{22}}{11}$$

 

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Reference

• <인공지능을 위한 수학> 이시카와 아키히코
• https://wikidocs.net/24603
• http://taewan.kim/post/norm/